業務割り当てが不公平だと感じる

いきなり不公平です！と不満を切り出すよりも、回数差があるようで気になっているのですが自分に何か足りない部分や課題があるなら教えてほしいというように謙虚な尋ね方をしてみるといいのではと思います。
実際は多少の回数差なんかシフト上たまたまかもしれないし、他の人にもっと改善すべき課題があったり体調面の配慮などで回数増やしているなどの理由があるかもしれません。
また、回数に差がつく理由がなにかあるとしても、転職じゃなく異動は検討できないでしょうか？

私の勤務先だとできる人が平均にリーダーやってちょうど月3回くらいです。
でも私がリーダーをやり始めてすぐの頃に同僚が妊娠し、私は半年間いちどもリーダーに入れなかったことがありました。
身体介助が多い病棟なので妊娠した人は毎日リーダーのみやるという体制は仕方ないんですが、本音を言えばこっちももっと経験積みたいのになあと面白くない気持ちはありました。
半年ぶりにリーダー入ったときは勘を取り戻すのに苦労しましたし、半年間毎日リーダーだけしていた同期と比較されてまた面白くなかったり。
でも転職しても思い通りの仕事をさせてもらえるわけじゃないですから、いまは少し考えどころかもしれません。
個人的には月２、3回でもきっちりやればちゃんと経験になると思います。

私はその1年後に別の病棟に異動になり、業務内容もリーダーの業務量もかなり違っていて慣れるまではすごく大変でした。
でも前の病棟でこつこつやってきたリーダー経験はちゃんと役に立ったし、同じ院内のシステムがわかっているのはやはりメリットだったと思います。