同僚に精神薬を飲んでいるのがバレた

主さんの体調はいかがでしょうか。
仕事に支障がないのかどうかも、周囲は気になっているのではないでしょうか。

上司が仮に注意したところで噂話を止めさせる事は難しいと思います。でも「人の噂も75日」とも言いますから、そのうちみんな飽きるのではないでしょうか。

今はやりにくいかもしれませんが、周囲の声に惑わされず、マイペースを崩さず日々仕事に励む事が大事だと思います。
体調面で問題がないと分かれば噂も消えてなくなると思います。

同僚がやった事は犯罪ですよ。
同じ色のリュックでもデザイン等は違いますし、仮に間違えて開けたとしても、自分の物と違う事はすぐに気が付くはずです。その後もリュック内をあさって中の物を取り出すって、窃盗に準じますね。
更に中身を明かして持ち主の名誉を傷つける行為、最低でもプライバシーの侵害、悪ければ名誉棄損にもあたりそうです。
証拠がどれほどあるかは分かりませんが、その気があるなら法律相談所に相談しても良いのではないですか？
それを基に同僚へ抗議もできます。

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まず、精神薬を飲んでいることがバレたからと、引け目に感じることはないですよ。
私は救急病院勤務が長かったですが、あまりの激務に、何らしか睡眠薬や精神薬を飲んでいる医師や看護師が多くいました。そもそも、この世界は並のストレスでは済まないわけで、精神薬を飲んでなければアルコール依存だったりとか、ストレス発散も結構過激だったりします。
ですので、主さんもまずは、その点何も負い目に感じる必要はないということを踏まえた上で・・・

１）同僚の行為は、故意ではない可能性があるにしろ（同じような黒いリュックということ　で）、中身を見た際に、自分のものではなく他人のものと認識されたはずなので、他人のプライバシーを公表し、周囲に知らしめた事自体、違法性が問われることになります。
まして、守秘義務が厳しく求められる職種、そもそも人にバラした時点で、その同僚には医療従事者としての資質を疑わざるを得ません。

２）そして、それを聞いた他の同僚たちが、そのことについてヒソヒソ話をする行為は、主さんが不愉快な思いになる要因となりますので、パワハラに抵触する可能性が高いと言えます。
３）主さんが、取れる手立ては下記のようになるかと思います。

①居づらくなって最悪退職をも辞さない覚悟であれば、同僚の違法性およびその他の者のパワ
ハラに対し、法的手段に訴えて出る（まずは法テラスの活用がよろしいかと）
②再度、上司に相談してみる。このままでは辛い旨を正直に話すことが肝要です。
職場でのセクハラやパワハラについて、病院は使用者責任において、然るべき対処をしなけれ
ばいけません。もし放置するとなると、使用者責任が問われ追求されることになりますので、
強く訴え出てみるというのも手です。これを怠り、労働基準局の調査が入ると、ハローワーク
内でも周知され、人材の募集に影響がでるため（あまりこういうのを知らない人が多いです
が）、病院側はなんとかしようとするはずです。
③これは私がよく使った手です
管理職時代、何をやっても不満はでます。ヒソヒソ話はしょっちゅう。で・・・・・荒業に出
ました（笑）。その人達を呼んで、言いたいことがあるならハッキリ言え、と。これは結構効
きました。が、状況によって結末がどうなるかわからない奥の手のようなもの、一かばちか、
みたいになるので胸張っておすすめはできません。

気にしないで、といっても無理ですよねえ、わかります。だから、気にしないフリだけでもやって堂々として日々をやり過ごす。それでも、状況が変わらないのであれば、そこは主さんにとって、いる必要のない、その程度のところだと思って、決別をされてはいかがでしょうか。転職先に困る資格ではないはずなので、やる気見せておいて、裏でこっそり転職先をリサーチしておき、必要なら法的手段でガツンとやる、いかがでしょうか。

ちょっと過激だったかもしれません、あくまで参考に・・・・・
元気にお過ごしになられるよう、明るい未来が早く来ますよう、お祈り申し上げます。