今年いっぱいで退職したいと伝えたら怒られた

できます！！病院の規定である〜か月前(大体１ヶ月？)に管理者に伝えるということもちゃんとされていますし、これ以上もなく十分な対応です。
部長クラスもしくは人事課とかに相談してみてはどうですか？

私の旦那は社労士でそういうことに詳しいのですが退職の申し出に応じなかったりする権利はないそうです。
師長として上の人達に怒られるのが嫌だからそういう言い方したんですかね！
みっともない。

労働基準法、
雇用期間に定めがない働き方を選択している従業員が退職を希望する場合は、民法第627条第1項根拠に、「従業員は、退職の2週間前までに通知すればよい」とされている。
民法の規定と会社が作成した就業規則は、どちらが優先されるのかという問題は、令和2年4月現在では「民法が優先する」考えるのが一般的です。
強制する行為は、民法627条に反する行為にみなされます。

なので、退職は本人の意思の弱さで退職出来ていない方がほとんどです。

他の方がおっしゃる通り、師長が退職を止める権利はありません。
辞めさせてくれない、というおかしい話はよく聞きます。
穏便に進められないことが多いので、引越しとか結婚とか、やむを得ない理由を作って（嘘だとしても）辞めていく人が多いかもしれません。

今年度末とは、2024年3月末での退職ってことでしょうか？
病院規定でたいてい皆さんは1ヶ月前に退職を告げますが
有給休暇を穏便に消化するためにも、少なくとも半年前に言うべき？だとは、大きな病院であれば空気をよんでなんとなくそんな感じと思いますが(有給休暇捨ててもいいなら一ヶ月前ギリギリでもアリっちゃアリですが、引き継ぎある立場ならやっぱ半年前にいってほしいかな)

１年前に告知って少し早かったのかもしれませんね

上司によっては、新年度始まったばかりなのに、もう年度末退職の話？は？ってなったのかもしれません(退職匂わせて揺さぶりかけてにたり、また、深刻な鬱一步手前の方もいるため上司が怒る？のはわかりませんが？)

理由が親の介護で一年後引っ越ししなければならないとかファミリーイベント理由なら、1年計画で、質問者さんの立場の補填や引き継ぎを考えてあげれるのですが
新卒受け容れたり新体制始まったばかりで年度末退職の話は早いかな？

ただ、退職できる、できないという話だけなら
退職できます

連休あけて、新体制が、やや落ち着いた頃
上司に「忙しい所すみません。４月にもやんわりお話しましたが、年度末退職をしたくて、有給休暇消化や引き継ぎもあり早めにお耳に入れたく〜」
みたいに話すとよいかも？

また、大病院なら謎の「退職は順番待ち」とかあるとこもあります(汗)ので、早めの告知がよい場合もありますので
あきらめず、退職届を書いて再度お話することをオススメします