パートだけでは仕事がまわせないので、利用者を断るのか？

それをおかしいと思うかは人それぞれなのかなと思います。私は特には思わないですね。

そちらの施設の体制がどのようなものかわからないので何とも言えませんが、パートさんがコロコロ変わったり派遣だったりするならあり得る話なのかなと。
もちろん雇う側の考えもあるでしょうけど、何かしら以前にトラブルがあってその様な決まり事があるのでは無いかと思います。
施設ごとでルールは違うと思うので今いるメンバーで話し合ってはどうでしょうか。施設長など事情がわかる人から話が聞けると良いですね。

うちは、パートさんで成り立っているので仕事内容に差はありません。
パートさんのほうがベテランさんなので、逆に頼り切っています。
いいか悪いかではなく施設の特色だと思うので、その体制を変えるのは大変ですが、上司に相談してみるのはしてもいいと思います。

私も同じような境遇です配薬はめったにないですが私だけの日がありその時は大変でした。
なんだか新しい利用者の情報も回ってこないし、業務の変更も報告がないので流れであー変更になったんだなと察するしかありません。
正直に言うと頼りにされてないというのは情けないというか惨めな気持ちになったりします。
責任問題と言われれば何もできませんよね、転職を考えたほうがいいと思います。きっとあなたをすごく必要としている職場はこの世に沢山ありますから。